代数与几何的联系
| 代数 | 几何 | ||
|---|---|---|---|
| 对象 | $k[x_1,\ldots,x_n]$ | $\mathbb{A}_k^n$ | 作为集合是等同的 |
| $V: J\mapsto V(J)$ | $k[x_1,\ldots,x_n]$ 中的理想 $J$ | $\mathbb{A}_k^n$ 中的代数集 $V(J)$ | $V$ 是满射, 但不是单射 |
| $I(X)\leftarrow X:\ I$ | $I(X)$ | $X\subset\mathbb{A}_k^n$ | $I$ 既非单射亦非满射 |
解释:
设 $k$ 是代数闭域, 记 $A=k[x_1,\ldots,x_n]$. 对 $A$ 的任意子集 $T$, 定义
\[
V(T):=\{P\in\mathbb{A}_k^n\mid\text{对所有}\ f\in T, \text{有}\ f(P)=0\}.
\]
映射
\[
\begin{array}[rcl]
V:\ \{A\text{的理想}\}&\rightarrow&\{\mathbb{A}_k^n\text{中的代数集}\}\\
J&\mapsto& V(J)
\end{array}
\]
是满射. 这是因为任取 $\mathbb{A}_k^n$ 中一个代数集 $Y$, 根据代数集的定义, 存在 $T\subset A$, 使得 $V(T)=Y$. 对于 $T$, 考虑由其生成的理想 $J:=(T)$, 则有 $V(J)=V(T)$.
对每个子集 $X\subset\mathbb{A}_k^n$, 定义一个如下的理想:
\[
I(X):=\{f\in A\mid f(P)=0\ \forall\ P\in X\}
\]
由于 $A$ 是多项式环, 如此定义的 $I(X)$, 显然满足理想的定义. 于是得到下面的映射
\[
\begin{array}[rcl]
I:\ \{\mathbb{A}_k^n\text{的子集}\}&\rightarrow&\{A\text{中的理想}\}\\
X&\mapsto& I(X)
\end{array}
\]
Claim 1. $V$ 不是单射.
例: $(x_1,\ldots,x_n)$ 是有 $f_i(x_1,\ldots,x_n):=x_i$, $i=1,2,\ldots,n$ 生成的理想.
若设 $m\in\mathbb{Z}^+$, $(x_1^m,\ldots,x_n^m)$ 是有 $g_i(x_1,\ldots,x_n):=x_i^m$, $i=1,2,\ldots,n$ 生成的理想.
显然有 $(x_1^m,\ldots,x_n^m)\subset(x_1,\ldots,x_n)$.
于是 $V(x_1^m,\ldots,x_n^m)=V(x_1,\ldots,x_n)$. 因此 $V$ 不是单射.
References:
Klaus Hulek 著, 《初等代数几何》